Les théorèmes d'incomplétude

Bonjour à tous


Les mathématiques contemporaines sont devenues suffisamment puissantes pour démontrer que l'indémontrable existe. Présentation d'un des théorèmes les plus fascinant dans l'histoire des mathématiques, le théorème d’incomplétude de Kurt Gödel, 1931.

Complément sur le récapitulatif (qui va un peu vite dans la vidéo!)

a) Dire qu'un programme s’arrête, c'est une propriété mathématique comme une autre.
b) On peut écrire un programme qui étant donné une propriété P qu'on lui fournirait en entrée, parcourait toutes les démonstrations existantes et s’arrêterait sur une démonstration soit de P soit de non P en temps fini.
c) Si un programme tel que b) existait alors on pourrait lui fournir en entrée des propriétés correspondantes à "le programme p1 s’arrête", ou "le programme p2 s’arrête" et il saurait toujours en temps fini répondre à la question. (car ce sont des propriétés mathématiques comme les autres)
d) Un tel programme d’énumération des preuves serait donc capable de répondre au problèmes de l’arrêt, mais on a démontré avant que c’était impossible.
e) La seule manière de faire coller la chose c'est donc que l'arbre des démos que parcourt notre programme de l’étape b) ne contienne pas toutes les démonstrations des propriétés de la forme '"le programme x s’arrête" (ni les démos ni les réfutations, on a donc bien prouvé l’existence de propriétés qu'on ne pourrait ni démontrer ni réfuter, certaines dans la famille '"le programme x s’arrête")

Pour en savoir plus :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8mes_d%27incompl%C3%A9tude_de_G%C3%B6del
https://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6...
http://lesswrong.com/lw/g1y/godels_co...
http://lesswrong.com/lw/g0i/standard_...

Musique :

https://www.jamendo.com/en/track/20236/ambiphonic
https://www.jamendo.com/en/track/402591/mystical-background